Math Problem Solver

Exercice 2.

Soit E un C-espace vectoriel (qu’on ne suppose pas de dimension finie),et f : E->E un application linéaire vérifiant f^3 + f =0. (où l’on rappelle que pour tout n entier naturel, f^n designe l’application f composée n fois avec elle-même : f^n = f o f o … o f).

1. Montrer que Im(f²+Id) contiens Ker(f).

2. Montrer que f est injective si et seulement si elle est inversible , et qu’alors son inverse est f^3.

On ne suppose plus dans la suite f injective, et on définit le sous-espace F := Ker(f²+Id) dans E.

3. Montrer que F est stable par f (i.e. : pourtout x dans F, f(x) dans F)

4. Monrer que Ker(f+iId) intersection Ker(f-iId) = {0}

5. Verifier que pour tout x de F, on a : (f+iId)(x) dans Ker(f-iId) et (f-iId)(x) dans Ker (f+iId)

6. En déduire que F=Ker(f+iId) somme directe Ker(f-iId)

7. Montrer de même que E=F somme directe Ker(f)

8. On suppose pour finir E de dimension finie. Montrer qu’il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, de coefficients diagonaux des 0, des i et des -i.