Partie A: Démonstration
L'objet de cette partie est de démontrer que les médiatrices d'un triangle sont concourantes et que lean point de concou- rance est le centre du cercle circonscrit.
Soit ABC un triangle.
On note O le milieu du segment [AB] et on choisit le point I sur la médiatrice du segment [AB] tel que (O, B, I) soit un repère orthonormé.
On note (x_{C}; y_{C}) les coordonnées du point C dans ce repère.
On note P le milieu du segment [BC] et on choisit un point J distinct de P sur la médiatrice du segment [BC].
On note Q le milieu du segment [AC].
1. Montrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que les droites (OI) et (PJ) ne sont pas parallèles.
On appelle K leur point d'intersection.
2. Calcul des coordonnées du point K
On note ses coordonnées (xK; ук):
(a) Donner les coordonnées des points B et P, puis en déduire celles du vecteur PK.
(b) Que peut-on dire du produit scalaire vec PK . vec BC ?
(c) En déduire que y_{K} = (x_{C} ^ 2 - 1)/(2y_{C}) + y_{C}/2
3. (a) Donner les coordonnées des points A et Q, puis calculer les coordonnées du vecteur QK.
(b) Calculer vec QK . vec AC
(c) En déduire que (QK) est la médiatrice du segment [AC].
4. En déduire que les médiatrices sont concourantes et que leur point de concours est le centre du cercle circonscrit.
Mathbot Says...
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