(1 × 2⁻¹) + (0 × 2⁻²) + (0 × 2⁻³) + (1 × 2⁻⁴) + (0 × 2⁻⁵) + (0 × 2⁻⁶) + (1 × 2⁻⁷) + (0 × 2⁻⁸) + (1 × 2⁻⁹) + (0 × 2⁻¹⁰) + (1 × 2⁻¹¹) + (0 × 2⁻¹²) + (1 × 2⁻¹³) + (0 × 2⁻¹⁴) + (0 × 2⁻¹⁵) + (1 × 2⁻¹⁶)

asked by guest
on Jan 08, 2025 at 8:58 pm



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Evaluate the expression: \(1 \cdot {2}^{-1} + 0 \cdot {2}^{-2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\)

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\[1 \cdot {2}^{-1} + 0 \cdot {2}^{-2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16} = \frac{37545}{65536} = 0.5728912353515625\]

\[\begin{aligned}1 \cdot {2}^{-1} + 0 \cdot {2}^{-2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}&=1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot {2}^{-2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 \cdot {2}^{-2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 \cdot {2}^{-3} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 0 + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 1 \cdot {2}^{-4} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{16} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1}{2} + \frac{1}{16} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 \cdot {2}^{-5} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 \cdot \frac{1}{32} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 \cdot {2}^{-6} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 \cdot \frac{1}{64} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 0 + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 1 \cdot {2}^{-7} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + 1 \cdot \frac{1}{128} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{9}{16} + \frac{1}{128} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + 0 \cdot {2}^{-8} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + 0 \cdot \frac{1}{256} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + 0 + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + 1 \cdot {2}^{-9} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + 1 \cdot \frac{1}{512} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{73}{128} + \frac{1}{512} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + 0 \cdot {2}^{-10} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + 0 \cdot \frac{1}{1024} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + 0 + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + 1 \cdot {2}^{-11} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + 1 \cdot \frac{1}{2048} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{293}{512} + \frac{1}{2048} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + 0 \cdot {2}^{-12} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + 0 \cdot \frac{1}{4096} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + 0 + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + 1 \cdot {2}^{-13} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + 1 \cdot \frac{1}{8192} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{1173}{2048} + \frac{1}{8192} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 \cdot {2}^{-14} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 \cdot \frac{1}{16384} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 \cdot {2}^{-15} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 \cdot \frac{1}{32768} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 0 + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 1 \cdot {2}^{-16}\\&=\frac{4693}{8192} + 1 \cdot \frac{1}{65536}\\&=\frac{4693}{8192} + \frac{1}{65536}\\&=\frac{37545}{65536}\end{aligned}\]

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