Math Problem Solver

On considère un triangle T équilatéral de côté 1. On le divise en 4 triangles équilatéraux obtenus en traçant les

segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central (étape 1). Chaque triangle non noirci est alors

divisé en 4 triangles équilatéraux selon le même procédé et on noircit le triangle central comme précédemment

(étape 2). On réitère l’opération: à l'étape (n+1), on partage chaque triangle non noirci de la figure de l’étape n en

quatre triangles et on noircit le triangle qui occupe une position centrale parmi ces 4 triangles

Pour n, entier naturel non nul, on note n u le nombre de triangles que l’on a noircis lors de l’étape n (c’est-àdire les triangles que l’on a ajoutés à ceux de l’étape précédente) et n A l’aire de l’un de ces triangles. On a donc:

= = 1 2 u u 1 et 3.

1. Étape 1

a. Montrer que l’aire du triangle initial T est égale à 3 . 4

Pour la suite de l’exercice, on notera: = 3 . 4

A

b. Montrer que: =1 4

A A .

2. Étape 2

a. Justifier que: = 1

2 . 4

A A

b. Quelle est l’aire de la surface noircie lors de l’étape 2 (on ne compte donc pas les triangles déjà noircis à

l’étape 1)?

3. Étape n

a. Justifier que la suite ( ) ∈ n * n u  est géométrique. Quelle est sa raison?

b. Exprimer n u en fonction de n.

c. On admet que la suite ( ) ∈ n * n A  est géométrique de raison 1

.

4 Exprimer n A en fonction de n.